Affine Plane, Affine Space, Affine Transformation

아핀 평면

평면 $R^2$에서 직선의 집합을 L 이라 하자. 

ℓ ∈ L 이면  ℓ : y = ax + b 로 표시되거나 수직선 ℓ : { a } X R 이다.

쌍 $( R^2 , L )$ 을 아핀 평면이라 부른다.

 

아핀 평면 ( $R^2$ , L ) 의 성질

(1) 서로 다른 두 점 p,q가 주어지면 , 이 두 점을 지나는 유일한 직선이 존재

    L = p ∨ q (이 기호는 두 점 p,q를 지나는 직선을 표시한 것)

(2) 한 직선 L과 , L에 놓이지 않는 한 점 p 가 주어지면 , p를 지나면서 L과

    만나지 않는 유일한 직선 L' 이 존재한다. p ∈ L' , L ∩ L' =  Ø

이런 instance relation 이 가지는 기하학적 의미가 더 중요 

 

아핀 변환

• 일대일 대응함수 F: $R^2 → R^2$ 중 F : L → L 도 일대일 대응이 되는 함수 중 기하학적인 성질을 보전하는 함수 의미
• 점, 직선, 평면을 보존하는 선형 매핑 방법 

 

아핀변환 제약 조건

4개의 조건 중 주목해야할 성질은 (4), 평행선들은 함수 F 에 의해 평행 성질이 유지된다는 것.

위 기하학적 성질 때문에 정사각형이 함수 F에 의해 사각형인 성질은 유지하며 다음과 같은 변형이 가능

 

(1) 크기의 변화 또는 평행이동

(2) 회전 이동

(3) 평행 유지 이동 (평행선이 유지된다는 의미?..)

 

3가지 변환의 혼합이 생길 수 있음

 

정리: 아핀 평면 $( R^2 , L )$ 상에서 affine 변환은 다음과 같다 :

Affine 변환

 

 

Affine Plane , Affine Space  -> 좀 더 확장된 개념 Projective plane, Projected space

 

 

  공간  $R^3$을 기하학적인 의미에서 생각해 보면

유클리드 기하학 자들은 공간  $R^3$  을 단순히 점들의 모임으로만 생각하지 않고

공간속에 직선 과 평면들 즉, 공간  $R^3$ 에서 점 들과 직선 그리고 평면들의 연관성에 주목해서 연구를 하기 시작

 

그 중  f :  $R^3$ → $R^3$  의 기하학적인 특성을 가지는 일대일 대응 함수에 주목하기 시작 했습니다. 함수니까 당연히 점은 점으로 이동 합 니다. 그와 동시에 직선들은 직선으로 옮겨주고 당연히 평면은 평면으로 옮겨 주는 함수들을 찾기 시작 했습니다. 즉, 기하학적인 특성을 가지는 함수는 무엇일까 하는 의문이었습니다.

 

무엇이 있을 까요?  맞습니다. 공간에서의 평행이동입니다.

평행이동은 일대일 함수이면서 자연스럽게 평행이동이니 직선을 직선으로 이동시켜 줍니다. 평면도 마찬가지 이구요.

       

평행이동 식

또 뭐가 있을 까요?  맞습니다. 공간에서 물체의 회전이동도 기하학적인 특성을 지니는 함수입니다.

 

 

 

이렇게 3X3행렬(${GL}_3(R)$에서 det 값이 0인것? 아닌것?? 그룹

 

A 3X3이고 (t1,t2,t3) 있을때

 

 

⊂  (${GL}_3(R)$  의 부분 그룹 됨. 

 

 

 

 

공학에서

몇가지 조건을 만족하면 그룹이라한다.

집합과 연산에 대해 closed, 항등원, 역원 있을 때 

 

 

 

 

 

 

 

참고

아핀평면

아핀 평면,공간

matlab 아핀변환